Помогите пожалуйста. СРОЧНО. ОЧЕНЬ ПРОШУ.

1. Найти интеграл, используя метод разложения.
2. Найти интеграл, используя метод замены.
3.Найти интеграл, используя метод интегрирования по частям.

Математика

Answers (1)

Ответ:

По частям:

$u = x : : : du = dx \ dv = cos {}^{2} (x) : : v = intlimits cos {}^{2} (x) dx = intlimits frac{1 + cos(2x) }{2} dx = \ = frac{1}{2} (intlimits : dx + frac{1}{2}intlimits cos(2x) d(2x) = \ = frac{x}{2} + frac{1}{4} sin(2x) \ \ uv - intlimits : vdu = \ = x imes ( frac{x}{2} + frac{1}{4} sin(2x)) - intlimits( frac{x}{2} + frac{1}{4} sin(2x)) dx = \ = frac{ {x}^{2} }{2} + frac{x}{4} sin(2x) - frac{ {x}^{2} }{4} - ( - frac{1}{8} ) cos(2x) + c = \ = frac{ {x}^{2} }{4} + frac{x}{4} sin(2x) + frac{1}{8} cos(2x) + C$

Замена:

$2 {x}^{3} + 5 =t \ 6 {x}^{2} dx = dt \ {x}^{2}dx = frac{dt}{6} \ \ frac{1}{6} intlimits frac{dt}{t} = frac{1}{6} ln( |t| ) + C = \ = frac{1}{6} ln( |2 {x}^{3} + 5 | ) + C$

$intlimits frac{tg frac{x}{2} }{1 - {tg}^{2}( frac{x}{2} )} dx = \$

Формула двойного угла:

$= frac{1}{2}intlimits frac{2tg frac{x}{2} }{1 - {tg}^{2} frac{x}{2} } dx = frac{1}{2} intlimits : tgxdx = \ = frac{1}{2} intlimits frac{ sin(x) }{ cos(x) } dx = - frac{1}{2} intlimits frac{d cos(x)) }{ cos(x) } = \ = - frac{1}{2} ln( | cos(x) | ) + C$